Materi, Soal, dan Pembahasan - Rata-Rata dan Varians dari Variabel Acak — Mathcyber1997 (2024)

Dari definisi varians, diperoleh
$$\begin{aligned} \text{Var}(X) & = E[(X-E[X])^2] \\ & = E[X^2 -2X \cdot E[X] + E[X]^2] \\ & = E[X^2]-E[2X \cdot E[X]] + E[E[X]^2]. \end{aligned}$$Karena $E[X]$ merupakan konstanta, dengan menggunakan sifat ekspektasi, didapat
$$\begin{aligned} \text{Var}(X)& = E[X^2]-2E[X] \cdot E[X] + E[X]^2 \\ & = E[X^2]-2E[X]^2 + E[X]^2 \\ & = E[X^2]-E[X]^2. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa varians dari $X$ dapat dinyatakan oleh $\text{Var}(X) = E[X^2]-E[X]^2.$ $\blacksquare$

[collapse]

Berdasarkan definisi rata-rata dari variabel acak diskret, diperoleh
$$\begin{aligned} \mu & = E[X] \\ & = \displaystyle \sum_{x = 0}^4 xf(x) \\ & = 0(0,\!41) + 1(0,\!37) + 2(0,\!16) + 3(0,\!05) + 4(0,\!01) \\ & = 0 + 0,\!37 + 0,\!32 + 0,\!15 + 0,\!04 \\ & = 0,\!88. \end{aligned}$$Jadi, rata-rata banyaknya produk yang rusak dari kasus di atas adalah $\boxed{0,\!88}$
(Jawaban E)

[collapse]

Diketahui fungsi peluang dari variabel acak $X$ berbentuk
$$p(X = x) = \begin{cases} \dfrac{x}{15}, & x = 1, 2, 3, 4, 5 \\ 0, & x~\text{lainnya}. \end{cases}$$Perhatikan bahwa $X$ merupakan variabel acak diskret karena nilai $x$ tidak berada dalam interval bilangan real. Dengan menggunakan definisi ekspektasi dari variabel acak diskret, didapat
$$\begin{aligned} E[X] & = \displaystyle \sum_{x=1}^5 x \cdot p(X = x) \\ & = \sum_{x=1}^5 x \cdot \dfrac{x}{15} \\ & = \dfrac{1}{15} \sum_{x=1}^5 x^2 \\ & = \dfrac{1}{!5}(1 + 4 + 9 + 16 + 25) \\ & = \dfrac{55}{15}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $E[X]$ adalah $\boxed{\dfrac{55}{15}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Pertama, akan ditentukan nilai $f(0), f(1),$ $f(2),$ dan $f(3)$ terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} f(0) & = \displaystyle \binom{3}{0} \left(\dfrac14\right)^0 \left(\dfrac34\right)^{3-0} = 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{27}{64} = \dfrac{27}{64} \\ f(1) & = \displaystyle \binom{3}{1} \left(\dfrac14\right)^1 \left(\dfrac34\right)^{3-1} = 3 \cdot \dfrac14 \cdot \dfrac{9}{16} = \dfrac{27}{64} \\ f(2) & = \displaystyle \binom{3}{2} \left(\dfrac14\right)^2 \left(\dfrac34\right)^{3-2}= 3\cdot \dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{64} \\ f(3) & = \displaystyle \binom{3}{3} \left(\dfrac14\right)^3 \left(\dfrac34\right)^{3-3} = 1 \cdot \dfrac{1}{64} \cdot 1= \dfrac{1}{64} \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \mu & = E[X] \\ & = \displaystyle \sum_{x = 0}^3 xf(x) \\ & = 0 \cdot \dfrac{27}{64} + 1 \cdot \dfrac{27}{64} + 2 \cdot \dfrac{27}{64} + 3 \cdot \dfrac{1}{64} \\ & = \dfrac{48}{64} \\ & = 0,\!75. \end{aligned}$$Jadi, rata-rata dari $X$ adalah $\boxed{0,\!75}$
(Jawaban C)

[collapse]

Misalkan $A$ dan $G$ berturut-turut merupakan kejadian munculnya sisi angka dan gambar pada eksperimen pelemparan koin bias tersebut. Ini berarti $p(A) = 3p(G).$ Karena jumlah peluang selalu sama dengan $1,$ didapat
$$\begin{aligned} p(A) + p(G) & = 1 \\ 3p(G) + p(G) & = 1 \\ p(G) & = \dfrac14. \end{aligned}$$dan $p(A) = \dfrac34.$
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya kemunculan gambar pada pelemparan koin tersebut sebanyak dua kali. Sebagai informasi, ruang sampel dari eksperimen tersebut adalah $\{AA, AG, GA, GG\}.$
Hal ini menunjukkan bahwa nilai $X$ akan dipetakan ke $0, 1,$ atau $2.$
$$\begin{aligned} p(X = 0) & = p(AA) = \dfrac34 \cdot \dfrac34 = \dfrac{9}{16} \\ p(X = 1) & = p(AG) + p(GA) = \dfrac34 \cdot \dfrac14 + \dfrac14 \cdot \dfrac34 = \dfrac{6}{16} \\ p(X = 2) & = p(GG) = \dfrac14 \cdot \dfrac14 = \dfrac{1}{16} \end{aligned}$$Selanjutnya,
$$\begin{aligned} \mu & = E[X] \\ & = \displaystyle \sum_{x = 0}^2 x \cdot p(X = x) \\ & = 0 \cdot \dfrac{9}{16} + 1 \cdot \dfrac{6}{16} + 2 \cdot \dfrac{1}{16} \\ & = 0,\!5. \end{aligned}$$Jadi, nilai harapan dari banyaknya kemunculan gambar pada pelemparan koin tersebut sebanyak dua kali adalah $\boxed{0,\!5}$
(Jawaban C)

[collapse]

Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya komponen baik pada sampel yang diambil. Banyaknya cara memilih $x$ dari $4$ komponen baik yang tersedia adalah $\displaystyle \binom{4}{x}.$ Sisanya, banyaknya cara memilih $3-x$ dari $3$ komponen cacat yang tersedia adalah $\displaystyle \binom{3}{3-x}.$ Secara keseluruhan, banyak cara memilih $3$ dari $7$ komponen yang tersedia adalah $\displaystyle \binom{7}{3}.$
Dengan demikian, distribusi peluang dari $X$ adalah
$$f(x) = \dfrac{\displaystyle \binom{4}{x} \binom{3}{3-x}}{\displaystyle \binom{7}{3}}, x = 0, 1, 2, 3.$$Dari sana, kita peroleh $f(0) = \dfrac{1}{35},$ $f(1) = \dfrac{12}{35},$ $f(2) = \dfrac{18}{35},$ dan $f(3) = \dfrac{4}{35}$ setelah melalui perhitungan sederhana. Oleh karena itu,
$$\begin{aligned} \mu & = E[X] \\ & = (0)\left(\dfrac{1}{35}\right) + (1)\left(\dfrac{12}{35}\right) + (2)\left(\dfrac{18}{35}\right) + (3)\left(\dfrac{4}{35}\right) \\ & = \dfrac{12}{7} \approx 1,\!7. \end{aligned}$$Jadi, nilai harapan dari banyaknya komponen baik pada sampel baru tersebut sekitar $\boxed{1,\!7}$
(Jawaban B)

[collapse]

Diketahui fungsi kepadatan peluang dari variabel acak $X$ berbentuk
$$f(x) = \begin{cases} 2(1-x), & 0<x<1 \\ 0, & x~\text{lainnya}. \end{cases}$$Perhatikan bahwa $X$ merupakan variabel acak kontinu karena nilai $x$ berada dalam interval bilangan real. Dengan menggunakan definisi ekspektasi dari variabel acak kontinu, didapat
$$\begin{aligned} E[X] & = \displaystyle \int_{0}^{1} x\cdot f(x)~\text{d}x \\ & = \int_{0}^{1} x\cdot 2(1-x)~\text{d}x \\ & = 2 \int_0^1 (x-x^2)~\text{d}x \\ & = 2 \left[\dfrac12x^2-\dfrac13x^3\right]_0^1 \\ & = 2\left[0-\left(\dfrac12(1)^2-\dfrac13(1)^3\right)\right] \\ & = 2 \cdot \dfrac16 \\ & = \dfrac13. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $E[X]$ adalah $\boxed{\dfrac13}$
Berikutnya, akan dicari nilai dari $E[X^2]$ dengan cara yang serupa.
$$\begin{aligned}E[X] & = \displaystyle \int_{0}^{1} x^2\cdot f(x)~\text{d}x \\ & = \int_{0}^{1} x^2\cdot 2(1-x)~\text{d}x\\&= 2 \int_0^1 (x^2-x^3)~\text{d}x \\ & = 2 \left[\dfrac13x^3-\dfrac14x^4\right]_0^1 \\ & = 2\left(\dfrac13-\dfrac14\right) \\ & = \dfrac16. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned}\text{Var}(X) & = E[X^2]-(E[X])^2 \\ & = \dfrac16-\left(\dfrac13\right)^2 \\ & = \dfrac{1}{18}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\text{Var}(X)$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{18}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Dengan menggunakan teorema generalisasi dari definisi rata-rata (nilai harapan), diperoleh
$$\begin{aligned} E[g(X)] & = E[4X + 3] \\ & = \displaystyle \int_{-1}^2 (4x + 3) \cdot \dfrac{x^2}{3}~\text{d}x \\ & = \dfrac13 \int_{-1}^2 (4x^3 + 3x^2)~\text{d}x \\ & = \dfrac13\left[x^4 + x^3\right]_{-1}^2 \\ & = \dfrac13\left((2^4-(-1)^4)+(2^3-(-1)^3)\right) \\ & = \dfrac13(15 + 9) \\ & = 8. \end{aligned}$$Jadi, nilai harapan dari $g(X) = 4X + 3$ sama dengan $\boxed{8}$
(Jawaban C)

[collapse]

Dengan menggunakan teorema generalisasi dari definisi rata-rata (nilai harapan), diperoleh
$$\begin{aligned} E[g(X)] & = E[e^{2X/3}] \\ & = \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{2x/3} \cdot e^{-x}~\text{d}x \\ & = \int_{0}^{\infty} e^{-x/3}~\text{d}x \\ & = -3 \int_{0}^{-\infty} e^{u}~\text{d}u && (u = -x/3; \text{d}u = -1/3\text{d}x) \\ & = -3\left[e^u\right]_0^{-\infty} \\ & = -3(0-e^0) \\ & = 3. \end{aligned}$$Jadi, nilai harapan dari $g(X) = e^{2X/3}$ sama dengan $\boxed{3}$
(Jawaban B)

[collapse]

$X$ merupakan variabel acak kontinu karena menyatakan kuantitas dari suatu hasil pengukuran, yaitu panjang. Dengan menggunakan definisi nilai harapan dari variabel acak kontinu, didapat
$$\begin{aligned} \mu & = E[X] \\ & = \displaystyle \int_{0}^1 x \cdot \dfrac{4}{\pi(1 + x^2)}~\text{d}x \\ & = \dfrac{2}{\pi} \int_0^1 \dfrac{2x}{1+x^2}~\text{d}x \\ & = \dfrac{2}{\pi} \int_0^1 \dfrac{2x}{1+x^2}~\text{d}x && (u = 1 + x^2; \text{d}u = 2x~\text{d}x) \\ & = \dfrac{2}{\pi} \int_1^2 \dfrac{\text{d}u}{u} \\ & = \dfrac{2}{\pi} \left[\ln |u|\right]_1^2 \\ & = \dfrac{2}{\pi} (\ln 2-\ln 1) \\ & = \dfrac{\ln 4}{\pi}~\text{mm}. \end{aligned}$$Jadi, nilai harapan dari $X$ adalah $\boxed{\dfrac{\ln 4}{\pi}~\text{mm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan hadiah yang diterima tim $A.$ Karena masing-masing pemain dari satu tim harus bertanding dengan satu pemain dari tim lawan, akan ada $3! = 6$ formasi pertandingan berbeda yang dapat disusun. Dari $6$ formasi tersebut, satu-satunya formasi yang membuat tim $A$ kalah adalah ketika $A_1$ melawan $B_3,$ $A_2$ melawan $B_1,$ dan $A_3$ melawan $B_2.$ Jadi, peluang tim $A$ kalah adalah $1/6,$ sedangkan peluang tim $A$ menang adalah $1-1/6 = 5/6.$ Dengan demikian, berdasarkan definisi, nilai harapan dari hadiah yang diterima tim $A$ adalah
$$\begin{aligned} E[X] & = \sum_x x \cdot P(X = x) \\ & = 3.000 \cdot \dfrac16 + 6.000 \cdot \dfrac56 \\ & = 5.500~\text{dolar}. \end{aligned}$$(Jawaban D)

[collapse]

Pendapatan harapan pegawai tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} E[g(X)] & = E[2X-1] \\ & = \displaystyle \sum_{x=4}^9 (2x-1)f(x) \\ & = 7f(4) + 9f(5) + 11f(6) + 13f(7) + 15f(8) + 17f(9) \\ & = 7 \left(\dfrac{1}{12}\right) + 9 \left(\dfrac{1}{12}\right) + 11 \left(\dfrac{1}{4}\right) + 13 \left(\dfrac{1}{4}\right) + 15 \left(\dfrac{1}{6}\right) + 17 \left(\dfrac{1}{6}\right) \\ & \approx \$12,\!67. \end{aligned}$$

[collapse]

Jawaban a)
Ekspektasi dari variabel acak $X$ dengan fungsi peluang yang diberikan tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} E[X] & = \displaystyle \sum_{x=1}^4 x \cdot p(X = x) \\ & = 1(0,\!4) + 2(0,\!1) + 3(0,\!3) + 4(0,\!2) \\ & = 0,\!4 + 0,\!2 + 0,\!9 + 0,\!8 \\ & = 2,\!3. \end{aligned}$$Jawaban b)
Ekspektasi dari variabel acak $2X$ dengan fungsi peluang yang diberikan tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} E[2X] & = \displaystyle \sum_{x=1}^4 2x \cdot p(X = x) \\ & = 2 \sum_{x=1}^4 x\cdot p(X = x) \\ & = 2(2,\!3) \\ & = 4,\!6. \end{aligned}$$Jawaban c)
Ekspektasi dari variabel acak $3X-5$ dengan fungsi peluang yang diberikan tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} E[3X-5] & = \displaystyle \sum_{x=1}^4 (3x-5) \cdot p(X = x) \\ & = 3 \sum_{x=1}^4 x \cdot p(X = x)-5 \sum_{x=1}^4 p(X = x) \\ & = 3(2,\!3)-5(0,\!4 + 0,\!1 + 0,\!3 + 0,\!2) \\ & = 6,\!9-5 \\ & = 1,\!9. \end{aligned}$$

[collapse]

Dari distribusi peluang yang diberikan, jelas bahwa $X$ merupakan variabel acak diskret. Untuk menentukan simpangan baku dari $X,$ kita perlu menentukan nilai $E[X], E[X^2],$ dan $\text{Var}(X)$ terlebih dahulu karena simpangan baku merupakan akar kuadrat dari $\text{Var}(X).$
$$\begin{aligned} E[X] & = \displaystyle \sum_{x} x \cdot P(X = x) \\ & = -2(0,\!3) + 3(0,\!2) + 5(0,\!5) \\ & = 2,\!5. \end{aligned}$$Kemudian,
$$\begin{aligned} E[X^2] & = \displaystyle \sum_{x} x^2 \cdot P(X = x) \\ & = (-2)^2(0,\!3) + 3^2(0,\!2) + 5^2(0,\!5) \\ & = 1,\!2 + 1,\!8 + 12,\!5 \\ & = 15,\!5. \end{aligned}$$Selanjutnya,
$$\begin{aligned} \text{Var}(X) & = E[X^2]-\left(E[X]\right)^2 \\ & = 15,\!5-(2,\!5)^2 \\ & = 9,\!25. \end{aligned}$$Dengan demikian, simpangan baku dari $X$ adalah $\boxed{\sqrt{9,\!25} \approx 3,\!041.}$

[collapse]

Diketahui variabel acak kontinu $X$ yang memiliki fungsi kepadatan peluang seperti berikut.
$$f(x) = \begin{cases} x, & 0<x<1 \\ 2-x, & 1\le x < 2 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$Berdasarkan definisi, didapat
$$\begin{aligned} \mu & = E[X] \\ & = \displaystyle \int_0^1 x \cdot x~\text{d}x + \int_1^2 x(2-x)~\text{d}x \\ & = \int_0^1 x^2~\text{d}x + \int_1^2 (2x-x^2)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac13x^3\right]_0^1 + \left[x^2-\dfrac13x^3\right]_1^2 \\ & = \dfrac13 + \left(3-\dfrac73\right) \\ & = 1. \end{aligned}$$Berikutnya, akan dicari nilai dari $E[X^2]$ dengan cara yang serupa.
$$\begin{aligned} E[X^2] & = \displaystyle \int_0^1 x^2 \cdot x~\text{d}x + \int_1^2 x^2(2-x)~\text{d}x \\ & = \int_0^1 x^3~\text{d}x + \int_1^2 (2x^2-x^3)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac14x^4\right]_0^1 + \left[\dfrac23x^3-\dfrac14x^4\right]_1^2 \\ & = \dfrac14 + \left(\dfrac23(7)-\dfrac14(15)\right) \\ & = \dfrac76. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \text{Var}(X) & = E[X^2]-\left(E[X]\right)^2 \\ & = \dfrac76-(1)^2 \\ & = \dfrac16. \end{aligned}$$Jadi, rata-rata dan varians dari lamanya penggunaan penyedot debu tersebut berturut-turut adalah $100~\text{jam}$ dan $\dfrac16(100~\text{jam})^2.$

[collapse]

Diketahui dua variabel acak $U$ dan $V$ yang saling bebas dengan $E[U] = 120,$ $\text{Var}(U) = 10,$ $E[V] = 150,$ dan $\text{Var}(V) = 15,$ semuanya dalam ribu rupiah. Karena $U$ dan $V$ saling bebas, berlaku $E[UV] = E[U] \cdot E[V].$
Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \text{Var}(U) & = E[U^2]-(E[U])^2 \\ 10 & = E[U^2]-(120)^2 \\ E[U^2] & = 14.410. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} E[U^2 + UV] & = E[U^2] + E[UV] \\ & = E[U^2] + E[U] \cdot E[V] \\ & = 14.410 + 120 \cdot 150 \\ & = 32.410. \end{aligned}$$Jadi, ekspektasi dari $U^2 + UV$ adalah $32.410$ (ribu rupiah)².
Jawaban b)
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \text{Var}(V) & = E[V^2]-(E[V])^2 \\ 15 & = E[U^2]-(150)^2 \\ E[V^2] & = 22.515. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} E[V^2-UV] & = E[V^2]-E[UV] \\ & = E[V^2]-E[U] \cdot E[V] \\ & = 22.515- 120 \cdot 150 \\ & = 4.515. \end{aligned}$$Jadi, ekspektasi dari $V^2-UV$ adalah $4.515$ (ribu rupiah)².

[collapse]

Misalkan $T$ menyatakan banyak ombak pada siang hari di suatu pantai dengan fungsi distribusi kumulatif sebagai berikut.
$$F(t) = \begin{cases} 0, & t < 1 \\ 1/5, & 1 \le t < 3 \\ 7/15, & 3 \le t < 5 \\ 23/30, & 5 \le t < 7 \\ 1, & t \ge 7 \end{cases}$$Jelas bahwa $T$ merupakan variabel acak diskret. Dari fungsi distribusi kumulatif tersebut, diperoleh
$$\begin{aligned} p(T = 1) = p(T \le 1)-p(T < 1) = F(1)-F(1^-) = \dfrac15-0 = \dfrac15 \\ p(T = 3) = p(T \le 3)-p(T < 3) = F(3)-F(3^-) = \dfrac{7}{15}-\dfrac15 = \dfrac{4}{15} \\ p(T = 5) = p(T \le 5)-p(T < 5) = F(5)-F(5^-) = \dfrac{23}{30}-\dfrac{7}{15} = \dfrac{9}{30} \\ p(T = 7) = p(T \le 7)-p(T < 7) = F(7)-F(7^-) = 1-\dfrac{23}{30} = \dfrac{7}{30} \end{aligned}$$dengan $F(x^-)$ menyatakan nilai limit kiri menuju $x$ dari fungsi distribusi kumulatif $F(t).$
Dengan demikian, fungsi massa peluang dari $T$ adalah sebagai berikut.
$$p(T = t) = \begin{cases} 1/5, & t = 1 \\ 4/15, & t = 3 \\ 9/30, & t = 5 \\ 7/30, & t = 7 \\ 0, & t~\text{lainnya} \end{cases}$$Jawaban a)
Peluang bahwa banyak ombak pada siang hari di pantai tersebut lebih dari $2$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(T > 2) & = 1-p(T \le 2) \\ & = 1-F(2) \\ & = 1-\dfrac15 \\ & = \dfrac45. \end{aligned}$$Jawaban b)
Rata-rata banyak ombak yang terjadi pada siang hari di pantai tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \mu_T & = E[T] \\ & = \displaystyle \sum_{t} tP(T = t) \\ & = 1 \cdot \dfrac15 + 3 \cdot \dfrac{4}{15} + 5 \cdot \dfrac{9}{30} + 7 \cdot \dfrac{7}{30} \\ & = \dfrac15 + \dfrac45 + \dfrac32 + \dfrac{49}{30} \\ & = \dfrac{62}{15}. \end{aligned}$$Jawaban c)
Varians banyak ombak yang terjadi pada siang hari di pantai tersebut dinyatakan oleh $\text{Var}(T) = E[T^2]-(E[T])^2.$ Oleh karena itu, akan dihitung $E[T^2]$ terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} E[T^2] & = \displaystyle \sum_{t} t^2P(T = t) \\ & = 1^2 \cdot \dfrac15 + 3^2 \cdot \dfrac{4}{15} + 5^2 \cdot \dfrac{9}{30} + 7^2 \cdot \dfrac{7}{30} \\ & = \dfrac15 + \dfrac{12}{5} + \dfrac{15}{2} + \dfrac{343}{30} \\ & = \dfrac{323}{15}. \end{aligned}$$Dengan demikian
$$\begin{aligned} \text{Var}(T) & = E[T^2]-(E[T])^2 \\ & = \dfrac{323}{15}-\left(\dfrac{62}{15}\right)^2 \\ & = \dfrac{1.001}{225}. \end{aligned}$$Jawaban d)
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyak ombak yang terjadi pada malam hari di pantai tersebut. Karena banyak ombak yang terjadi pada malam hari di pantai tersebut adalah satu kurangnya dari dua kali banyak ombak yang terjadi pada siang hari, haruslah $X = 2T-1.$
Dengan demikian, rata-rata banyak ombak yang terjadi pada malam hari di pantai tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \mu_X & = E[X] \\ & = E[2T-1] \\ & = 2E[T]-1 \\ & = 2 \cdot \dfrac{62}{15}-1 \\ & = \dfrac{109}{15}. \end{aligned}$$

[collapse]

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan lamanya waktu (dalam jam) pengurusan klaim asuransi mobil dari sejak terjadinya kecelakaan dengan distribusi peluang sebagai berikut.
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac14e^{-x/4}, & x > 0 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$Jawaban a)
Perhatikan bahwa ketika $X = 72,$ nilai dari $f(x) = \dfrac14e^{-18}$ sangatlah kecil sehingga dapat diabaikan. Jadi, kita akan menggunakan batas atas integral sebagai $\infty,$ bukan $72.$ Peluang bahwa lamanya waktu pengurusan klaim asuransi mobil dari sejak terjadinya kecelakaan setidaknya selama $36$ jam adalah
$$\begin{aligned} p(X \ge 36) & = \displaystyle \int_{36}^{\infty} \dfrac14e^{-x/4}~\text{d}x \\ & = -[e^{-x/4}]_{36}^{\infty} \\ & = -(0-e^{-9}) \\ & = \dfrac{1}{e^9}. \end{aligned}$$Jawaban b)
Berdasarkan definisi, rata-rata dari $X$ adalah
$$\begin{aligned} \mu_X & = E[X] \\ & = \displaystyle \int_0^{\infty} x~\cdot \dfrac14e^{-x/4}~\text{d}x \\ & = \dfrac14 \int_0^{\infty} x~\cdot \dfrac14e^{-x/4}~\text{d}x. \end{aligned}$$Dengan menggunakan teknik pengintegralan parsial, misalkan $u’ = e^{-x/4}~\text{d}x$ dan $v = x$ sehingga $u = -4e^{-x/4}$ dan $v’ = 1~\text{d}x.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac14 \int u’v~\text{d}x & = uv-\int uv’~\text{d}x \\ \dfrac14 \int_{0}^{\infty} x~\cdot \dfrac14e^{-x/4}~\text{d}x & = \dfrac14 \left[-4xe^{-x/4}-\int (-4)e^{-x/4}~\text{d}x\right]_0^{\infty} \\ & = \dfrac14\left[-4xe^{-x/4}-(-4)(-4)e^{-x/4}\right]_0^{\infty} \\ & = \dfrac14\left[-4xe^{-x/4}-16e^{-x/4}\right]_0^{\infty} \\ & = \dfrac14\left[0-4(-4)e^0\right] \\ & = 4. \end{aligned}$$Jadi, rata-rata dari $X$ adalah $4.$
Jawaban c)
Untuk menentukan simpangan baku dari $X,$ nilai $E[X^2]$ dan $\text{Var}(X)$ harus ditentukan terlebih dahulu. Berdasarkan definisi, ekspektasi dari $X^2$ adalah
$$\begin{aligned} E[X^2] & = \displaystyle \int_0^{\infty} x^2~\cdot \dfrac14e^{-x/4}~\text{d}x \\ & = \dfrac14 \int_0^{\infty} x^2~\cdot \dfrac14e^{-x/4}~\text{d}x. \end{aligned}$$Dengan menggunakan teknik pengintegralan parsial, misalkan $u’ = e^{-x/4}~\text{d}x$ dan $v = x^2$ sehingga $u = -4e^{-x/4}$ dan $v’ = 2x~\text{d}x.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac14 \int u’v~\text{d}x & = uv-\int uv’~\text{d}x \\ \dfrac14 \int_{0}^{\infty} x^2~\cdot \dfrac14e^{-x/4}~\text{d}x & = \dfrac14 \left[-4x^2e^{-x/4} -\int (-4e^{-x/4})(2x)~\text{d}x\right]_0^{\infty} \\ & = \dfrac14 \left[-4x^2e^{-x/4} + 8 \int xe^{-x/4}~\text{d}x\right]_0^{\infty} \\ & = \dfrac14 \left[-4x^2e^{-x/4} + 8 \left(-4xe^{-x/4}-\int (-4)e^{-x/4}~\text{d}x\right)\right]_0^{\infty} \\ & = \dfrac14 \left[-4x^2e^{-x/4}-32xe^{-x/4}-128e^{-x/4}\right]_0^{\infty} \\ & = \dfrac14\left[0-(-128e^0)\right] \\ & = \dfrac14(128) \\ & = 32. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \text{Var}(X) & = E[X^2]-(E[X])^2 \\ & = 32-4^2 \\ & = 16. \end{aligned}$$Jadi, simpangan baku dari $X$ adalah $\sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{16} = 4.$
Jawaban d)
Untuk $x > 0,$ fungsi distribusi kumulatif dari $X$ adalah
$$\begin{aligned} F(x) & = \displaystyle \int_0^x \dfrac14e^{-t/4}~\text{d}t \\ & = -[e^{-x/4}-e^0] \\ & = 1-e^{-x/4}. \end{aligned}$$Untuk $x \le 0,$ fungsi distribusi kumulatif dari $X$ jelas adalah $F(x) = 0.$ Dengan demikian, secara keseluruhan, fungsi distribusi kumulatif dari $X$ adalah sebagai berikut.
$$F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0 \\ 1-e^{-x/4}, & x > 0 \end{cases}$$

[collapse]

Diketahui variabel acak $T$ dengan fungsi peluang
$$f(t) = \begin{cases} \dfrac34(1-t)^2, & -1<t<1 \\ 0, & t~\text{lainnya}. \end{cases}$$Berdasarkan definisi ekspektasi, nilai dari $E[T^2]$ dapat dihitung sebagai berikut.
$$\begin{aligned} E[T^2] & = \displaystyle \int_{-1}^1 t^2 \cdot \dfrac34(1-t^2)~\text{d}t \\ & = \dfrac34 \int_{-1}^1 (t^2-t^4)~\text{d}t \\ & = \dfrac34 \left[\dfrac13t^3-\dfrac15t^5\right]_{-1}^1 \\ & = \dfrac34\left[\left(\dfrac13-\dfrac15\right)-\left(-\dfrac13+\dfrac15\right)\right] \\ & = \dfrac34\left(\dfrac23-\dfrac25\right) \\ & = \dfrac15. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $E[T^2] = \dfrac15.$
Berikutnya, akan dicari nilai dari $E[T-1]$ dengan cara yang serupa.
$$\begin{aligned} E[T-1] & = \displaystyle \int_{-1}^1 (t-1) \cdot \dfrac34(1-t^2)~\text{d}t \\ & = \dfrac34 \int_{-1}^1 (-t^3 + t^2 +t-1)~\text{d}t \\ & = \dfrac34 \left[-\dfrac14t^4 + \dfrac13t^3 + \dfrac12t^2-t\right]_{-1}^1 \\ & = \dfrac34 \left(-\dfrac{5}{12}-\dfrac{11}{12}\right) \\ & = -1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $E[T-1] = -1.$
Terakhir, akan dicari nilai dari $E[|T|]$ dengan cara yang serupa.
$$\begin{aligned} E[|T|] & = \displaystyle \int_{-1}^1 |t| \cdot \dfrac34(1-t^2)~\text{d}t \\ & = \dfrac34 \left(\underbrace{\int_{-1}^0 -t(1-t^2)~\text{d}t}_{t < 0} + \underbrace{\int_0^1 t(1-t^2)~\text{d}t}_{t \ge 0}\right) \\ & = \dfrac34 \left(\int_{-1}^0 (t^3-t)~\text{d}t + \int_0^1 (t-t^3)~\text{d}t\right) \\ & = \dfrac34\left(\left[\dfrac14t^4-\dfrac12t^2\right]_{-1}^0 + \left[\dfrac12t^2-\dfrac14t^4\right]_0^1\right) \\ & = \dfrac34\left(\dfrac14+\dfrac14\right) \\ & = \dfrac38. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $E[|T|] = \dfrac38.$

[collapse]

Postingan Terkait

• January 13, 2023 Materi, Soal, dan Pembahasan – Distribusi Peluang Diskret dan Kontinu
• March 5, 2023 Materi, Soal, dan Pembahasan – Distribusi Eksponensial dan Gama
• April 29, 2023 Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas
• April 25, 2023 Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Rata-Rata Satu Populasi